Четырехугольником ABCD называется фигура, которая состоит из четырех точек А, В, С, D по три, не лежащих на одной прямой, и четырех отрезков AB, BC, CD и AD, соединяющих эти точки.

На рисунках изображены четырехугольники.

Точки А, В, С и D называются вершинами четырехугольника, а отрезки AB, BC, CD и AD - сторонами. Вершины А и С, В и D называются противолежащими вершинами. Стороны AB и CD, BC и AD называются противолежащими сторонами.

Четырехугольники бывают выпуклые (на рисунке - левый) и невыпуклые (на рисунке - правый).

Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника (диагональ АС разделяет ABCD на два треугольника ABC и ACD; диагональ BD - на BCD и BAD). У невыпуклого четырехугольника только одна из диагоналей разделяет его на два треугольника (диагональ AC разделяет ABCD на два треугольника ABC и ACD; диагональ BD - не разделяет).

Рассмотрим основные виды четырехугольников, их свойства, формулы площади:

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

ABCD-параллелограмм: AB||DC, AD||BC

Свойства:

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Площадь параллелограмма:

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Основаниями называются параллельные стороны, а две другие стороны - боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

ТЕОРЕМА.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Площадь трапеции:

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства:

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Площадь ромба:

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы равны.

Свойства:

Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника:

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Площадь прямоугольника:

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства:

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба (прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом).

Все углы квадрата прямые.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Площадь квадрата: